viernes, 18 de mayo de 2007

Ejercicios de Teoría de Colas


PROBLEMA 1.

El Banco Nacional de Occidente piensa abrir una ventanilla de servicio en automóvil
para servicio a los clientes. La gerencia estima que los clientes llegarán a una tasa de 15
por hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de uno
cada tres minutos.
Suponiendo que las llegadas son de Poisson y que el servicio es exponencial, encuentre:
1. La utilización del cajero.
2. El número promedio en cola.
3. Número promedio en el sistema.
4. Tiempo promedio de espera en cola.
5. Tiempo promedio de espera en el sistema (incluyendo el servicio).
Por la disponibilidad limitada de espacio y el deseo de proporcionar un nivel de servicio
aceptable, el gerente del banco quisiera asegurar, con un 95% de certeza que los clientes
no tengan que esperar y sean atendidos inmediatamente. Para ello tiene dos opciones:
conseguir que el empleado de la ventanilla trabaje más rápido, o poner más empleados
conservando la misma tasa de servicio. Evaluar las dos posibilidades.

SOLUCION

p=0.75
Lq=2.25
L=3
Wq=9 minutos
W=12 minutos
Pw<=0.05 =>u=5 cl/minuto
Pw<=0.05 => s=3 servidores

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PROBLEMA 2.

En el departamento de servicio del concesionario de automóviles Glenn-Mark, los
mecánicos que necesitan recambios para la reparación o el servicio de un automóvil
presentan sus formularios de solicitud en el mostrador del departamento de recambios.
El empleado del departamento llena una solicitud y va a buscar el repuesto que le ha
pedido el mecánico. Los mecánicos llegan en forma aleatoria (Poisson) a una tasa de 40
por hora mientras que el empleado puede completar 20 solicitudes por hora
(exponencial). Si el coste de un empleado del departamento de recambios es de 6 $/hora
y el de un mecánico es de 12 $/hora, determinar el número óptimo de empleados para el
mostrador. (Por la alta tasa de llegadas, se puede suponer una población infinita)
SOLUCION
s=4 => Coste Total=26$/hora
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PROBLEMA 3.

Una empresa de ingeniería contrata a un especialista técnico para que auxilie a cinco
ingenieros de diseño que trabajan en un proyecto. El tiempo de ayuda del especialista
varía considerablemente; algunas de las respuestas las tiene en la cabeza; otras requieren
cálculos; y otras más requieren mucho tiempo de investigación. En promedio, el
especialista tarda una hora con cada solicitud.
Los ingenieros requieren el apoyo del especialista una vez al día, en promedio. Puesto
que cada ayuda tarda aproximadamente una hora, cada ingeniero puede trabajar siete
horas, en promedio, sin ayuda.
1. ¿Cuántos ingenieros, en promedio, esperan ayuda del especialista técnico?
2. ¿Cuál es el tiempo promedio que tiene que esperar un ingeniero al especialista?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que un ingeniero tenga que esperar en cola al
especialista?
SOLUCION
Lq=2,44
Wq=2,49 horas
Pw=98,22%


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PROBLEMA 4.

L. Winston Martín es un alergólogo de Tucson con un excelente sistema para atender a
sus clientes habituales que sólo van por inyecciones antialérgicas. Los pacientes llegan
por una inyección y llenan una papeleta, la cual se coloca en una rendija que comunica
con otra sala, donde están una o dos enfermeras. Se preparan las inyecciones específicas
para un paciente y se le llama por el sistema de megafonía para que pase a la sala para la
inyección. A ciertas horas del día, baja la carga de trabajo y solo se requiere una
enfermera para aplicar las inyecciones.
Centrémonos en el más sencillo de los dos casos, es decir, cuando sólo hay una
enfermera. Suponga también que los pacientes llegan de forma aleatoria y que la tasa de
servicio de una enfermera está distribuida exponencialmente. Durante el periodo más
lento, los pacientes llegan aproximadamente cada tres minutos. La enfermera necesita
dos minutos para preparar el suelo del paciente y aplicar la inyección.
1. ¿Cuál es promedio de personas que estarían en el consultorio del Dr. Martín?
2. ¿Cuánto tiempo tardaría una persona en llegar, recibir la inyección y salir?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que estén tres o más pacientes en el consultorio?
4. ¿Cuál es la utilización de la enfermera?
SOLUCION
L=2
W=6 minutos
P(L>2)=30%
p=66,67%

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PROBLEMA 5.

Una empresa de reproducción gráfica tiene cuatro unidades de equipo automáticas, pero
que en ocasiones están fuera de servicio porque requieren suministros, mantenimiento o
reparación. Cada unidad requiere mantenimiento aproximadamente 2 veces por hora o,
para ser más precisos, cada unidad de equipo funciona durante un promedio de 30
minutos antes de requerir servicio. Los tiempos de servicio varían, desde un
mantenimiento sencillo (como oprimir un botón de reinicio o colocar el papel) hasta una
complicada operación de desmontaje del equipo. Sin embargo, el tiempo promedio de
servicio es de cinco minutos.
El tiempo de inactividad del equipo ocasiona una pérdida de 20 dólares por hora. El
único empleado de mantenimiento recibe 6 $/hora. Utilice el análisis de colas con
población finita para calcular:
1. El número promedio de unidades en cola.
2. El número promedio de unidades en operación.
3. El número promedio de unidades en el sistema de mantenimiento.
4. La empresa piensa contratar a otro empleado de mantenimiento a 6 $/hora.
¿Debe hacerlo?
SOLUCION
Lq=1,61
4-L=1,43
L=2,57
M/M/1//4 => 57,40 $/h
M/M/2//4 => 48,08 $/h


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PROBLEMA 6.

Durante la feria, el puesto de coches de choque tiene el problema de que los coches se
averían y requieren reparaciones con demasiada frecuencia. Se puede contratar personal
para las reparaciones a 15 $/hora, pero sólo trabajan en equipo, es decir, si se contrata a
una persona, trabaja sola; si son dos, tres o cuatro personas, sólo pueden trabajar juntas
en la misma reparación.
Una única persona puede reparar vehículos en un tiempo promedio de 30 minutos; dos
personas tardan 20; tres tardan 15 minutos y cuatro, 12 minutos. Si un vehículo está
inactivo, las pérdidas ascienden a 20 $/hora. El promedio de averías en vehículos es de
dos por hora (suponer población infinita y todas las distribuciones exponenciales).
¿A cuántas personas hay que contratar para las reparaciones?
SOLUCION
2 personas => 70 $/h
3 personas => 65 $/h
4 personas => 73,3 $/h

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PROBLEMA 7.

Una tienda de bebidas ha determinado que es económicamente factible añadir una
ventanilla para dar servicio a los automóviles, con espacio para dos vehículos: uno en la
ventanilla y otro esperando. El dueño quiere saber si le conviene alquilar más espacio de
espera.
Se espera que los automóviles lleguen (según una distribución de Poisson) a una tasa de
ocho por hora. En la ventanilla se puede atender a una tasa de 10 automóviles por hora
(exponencial). Cada transacción deja un beneficio de 1 $, y el dueño piensa abrir 12
horas al día, 6 días por semana y 52 semanas al año. Los espacios adicionales cuestan
2000 $/año cada uno. ¿Cuántos vale la pena alquilar?.
SOLUCION
Q=2 => efect=5 c/h => Bº=22089 $/año
Q=3 => efect=6,61 => Bº=22747 $/año
Q=4 => efect=7,02 => Bº=22282 $/año
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PROBLEMA 8.

Se trata de elegir entre dos tipos de equipo de manejo de materiales, A y B, para
transportar cierto tipo de bienes entre distintos centros de producción dentro de un taller.
La necesidad de una unidad de este equipo para mover una carga es en esencia aleatoria
(es decir, sigue un proceso de entradas Poisson) con una tasa media de 4 por hora. El
tiempo total requerido para mover una carga sigue una distribución exponencial, con
media 12 minutos con el equipo A y 9 minutos con el B. El coste total uniforme
equivalente por hora (coste de recuperación de capital más el coste de operación) sería
50 $ para A y 150 $ para B. Se estima que el coste de los bienes inútiles (en espera de
ser transportados o en tránsito) causados por el aumento de inventario de materiales en
proceso es 20 $/hora y carga. Además, la programación de trabajo en los centros de
producción proporciona sólo una hora entre la terminación del proceso de una carga en
un centro y la llegada de esa carga al siguiente centro. Así, debe asociarse un coste de
100 $/carga y hora de retraso (incluyendo el tránsito) después de la primera hora, por
pérdida de producción debida al personal y equipo desocupados, costes extras para
acelerar la producción y supervisarla, etc.
Suponiendo que sólo se comprará un equipo de manejo de materiales, ¿cuál de los dos
deberá seleccionarse?
SOLUCION
A => 130 $/h
B => 180 $/h

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PROBLEMA 9.

Una compañía ferroviaria pinta sus propios vagones de ferrocarril según se van
necesitando. La alternativa 1 consiste en proporcionar dos talleres de pintura en los que
se pinta a mano (un vagón cada vez en cada taller), con un coste total anual de 300.000
$. El tiempo de pintado para cada vagón es de seis horas (exponencial). La alternativa 2
consiste en proporcionar un taller de pintura aerosol que implica un coste anual de
400.000 $. En este caso, el tiempo de pintado por vagón (de nuevo uno a la vez) es de
tres horas (también exponencial). Para ambas alternativas, los vagones llegan de
acuerdo a un proceso Poisson con una tasa media de 1 cada 5 horas. El coste por vagón
inutilizado es de 50 $/hora. ¿Qué alternativa debe elegir la compañía ferroviaria?
Supóngase que los talleres de pintura siempre están abiertos, es decir, trabajan
(24)·(365)=8760 horas por año.
SOLUCION
1 => 127 $/h
2 => 120 $/h

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PROBLEMA 10.

Se está estudiando un pequeño negocio de lavado de autos. Los clientes llegan de
acuerdo a un proceso Poisson con una tasa media de 15 por hora y solo se puede lavar
un coche a la vez. El tiempo que se requiere para lavar un auto sigue una distribución
exponencial con tasa media de 4 minutos. También se ha observado que los clientes que
llegan cuando hay 4 coches en el sistema (incluyendo el que se está lavando), se van y
llevan su auto a otro lado. La pérdida de la ganancia incremental por cada cliente que se
va es de 3 $.
Se han hecho dos propuestas. La propuesta 1 incluye agregar cierto equipo, a un coste
capitalizado de 3 $/hora, que reduciría el tiempo esperado de lavado a tres minutos.
Además, se daría una garantía a cada cliente que llega de que si tiene que esperar más
de media hora para que le entreguen su auto listo, tendrá derecho a un lavado gratuito (a
un coste marginal de 2 $ para la compañía). Esta garantía se publicará en un letrero, por
lo que se piensa que no se perderán más clientes.
La propuesta 2 consiste en obtener el equipo más avanzado que existe, a un coste
incremental de 10 $/hora, en el que cada vehículo pasaría por dos ciclos sucesivos. El
tiempo requerido para un ciclo sigue una distribución exponencial de media un minuto,
es decir, el tiempo total esperado de un lavado sería de dos minutos. Se piensa que el
aumento de velocidad y eficiencia hará que ningún cliente que llegue se vaya.
El dueño piensa que en el análisis de las alternativas debe incluirse la pérdida de imagen
(que podría derivar en pérdida de clientes en el futuro), cuando los clientes tienen que
esperar antes de que se comience a lavar su automóvil, con un coste de 0,1 $/minuto de
espera.
Evalúe el coste total esperado por hora del estado actual, de la propuesta 1 y de la
propuesta 2 para determinar cuál debe elegirse.
SOLUCION
Actual => 16,2 $/h
Alt 1 => 16,5+0,202=16,7 $/h
Alt 2 => 13 $/h

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PROBLEMA 11.

El gerente de un banco debe determinar cuántos cajeros deben trabajar los viernes. Por
cada minuto que un cliente espera en la cola, se supone que se incurre en una pérdida de
0,05 $. Al banco llegan un promedio de 2 clientes por minuto. En promedio, un cajero
tarda 2 minutos en tramitar la transacción de un cliente. Al banco le cuesta 9 $/hora la
contratación de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son
exponenciales.
SOLUCION
s=4 => Inestable
s=5 => 0,86 $/min
s=6 => 0,92 $/min

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PROBLEMA 12.

En un hospital se recibe un promedio de 20 solicitudes de ambulancias por hora. Una
ambulancia necesita un promedio de 20 minutos para recoger un paciente y llevarlo al
hospital. La ambulancia queda disponible entonces para recoger otro paciente. ¿Cuántas
ambulancias debe tener el hospital para asegurar que no haya más del 1% de
probabilidades de no poder atender de inmediato una solicitud de ambulancias?.
Suponga que los tiempos entre solicitudes están distribuidos exponencialmente.
SOLUCION
s=13 => Pw=2,1%
s=14 => Pw=0,9%

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PROBLEMA 13.

La Newcoat Painting Company, durante largo tiempo, ha tenido una alta demanda de su
servicio de pintura de automóviles. Como ha tenido que rechazar trabajos, a la gerencia
le preocupa que la causa de la pérdida de ingresos sea el espacio restringido de que
dispone para guardar los automóviles que tiene que pintar. Al lado de las instalaciones
hay un pequeño solar vacío, que se ofrece en renta a un coste de 10 $/día. La gerencia
cree que cada cliente perdido supone 20 $ de pérdidas. Se calcula que la demanda actual
es de 21 automóviles por día con tiempos exponenciales entre llegadas, incluyendo los
que debe rechazar por no haber espacio para la espera, y el taller puede dar servicio a 24
coches por día (exponencial). El espacio de espera está limitado actualmente a 9 autos,
pero si se alquila el solar adjunto, se puede aumentar a 20 vehículos en total. Newcoat
desea saber si le se debe alquilar el solar vacío. También se desea conocer las pérdidas
diarias por culpa de rechazar trabajos, actualmente y si se alquila el solar. Sólo se puede
pintar un coche a la vez.
SOLUCION
Actual Q=10 Cost Balked=17,94 $/dia
Total Cost=17,94 $/dia
Actual Q=21 Cost Balked= 3,35 $/dia
Total Cost=13,35 $/dia


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PROBLEMA 14.

El departamento de investigación de operaciones de una universidad tiene dos líneas
telefónicas. Un promedio de 30 personas por hora tratan de llamar al departamento, y la
longitud promedio de cada llamada es de 1 minuto. Si una persona trata de llamar
cuando ambas líneas están ocupadas, cuelga y se pierde del sistema. Suponer que el
tiempo entre las llamadas que tratan de comunicarse, así como los tiempos de servicio,
son exponenciales.
1. ¿Qué fracción del tiempo estarán libres ambas líneas? ¿Qué fracción de tiempo
están ocupadas las dos? ¿Qué fracción de tiempo habrá desocupada exactamente
una línea?
2. En promedio, ¿cuántas líneas están ocupadas?
3. En promedio, ¿cuántas solicitudes colgarán cada hora?
SOLUCION
P0=61,5%
P2=7,6%
P1=0,3%


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domingo, 11 de marzo de 2007

Ejercicios de Inventarios


Sistemas de inventarios

La empresa BellMetal produce dos tipos de lámparas, ChinaSea y Matanzas Bay.
Desea fabricar, por su alta demanda, más lámparas China Sea ,por lo cual desea a aumentar en 9000 su producción, el costo de almacenamiento por unidad es de $0.60 dólares semestralmente; si ordena su compra tendrá que pagar $200 dólares, debe pedirlas por anticipado (10 días), en resumen, el costo unitario es de $1 dólar.(un semestre=125 días)
Para resolver el ejercicio primero se establece la fórmula que se va a utilizar:
Q=sistema de pedido de tamaño fijo
P=intervalo fijo
Inmediatamente, se sustituye con las cantidades correspondientes
Q= sqrt( 2(200)(9000)/1.2)=1732.5
Sqrt=raíz cuadrada
El intervalo entre pedidos será de 125 días
Sustituyendo queda así:
1732.5/9000=0.1925(125)=24.0625
Cómo la demanda de este tipo de lámpara aumentó, la empresa desea conocer específicamente, cuántas lámparas se están vendiendo por día, con los datos anteriores ya podemos saberlo.
Demanda por día= 9000/125=72
Es decir que se están vendiendo al día 72 lámparas China Sea
El tiempo de anticipación es de 10 días (L); con los resultados que obtuvimos anteriormente podemos determinar cuántas unidades va a necesitar durante ese periodo, al multiplicar
(10)*(72)=7200
Para determinar el costo total anual se aplicará la siguiente fórmula:
C=(1(9000))+(200(9000/1732.5))+(0.6(1732.5/2))=$11,078 por año


Modelo de descuento en todas las unidades

La empresa Transnacional Coffe Shoppe, en los últimos meses, ha sido informada que la demanda de su café Especial Coffe, que es la combinación de dos cafés, ha aumentado considerablemente, sino toma las precauciones necesarias podría verse en serios problemas, por ello es que se pide lo siguiente:
Determine la cantidad óptima a ordenar para un café comprado que tiene las siguientes características:
Uso estimado anual a tasa constante 20, 000 libras
Costo de procesar una orden $ 64.00
Intereses anuales, impuestos y seguros como una fracción del valor de la inversión sobre el inventario promedio 40 %.

El esquema de precios es el siguiente:

Cantidad
Precio
0 < Q < 2, 000
$ 7.00
2, 000 < Q < 4, 000
$ 5.9
4, 000 < Q
$ 4.00
Resolución.
Datos.
D = 20, 000 libras
C2 = $ 64.00
C11 = $ 7.00
C12 = $ 5.90
C13 = $ 4.00
i = 40 %
El costo de mantener una libra del café en almacén esta definido por C3 = iC1j.

Paso 1.
Determinaremos la cantidad óptima a pedir para cada uno de los costos proporcionados.
Para C11 = $ 7.00 tenemos:
Q1=sqrt(2(20,000)(64)/(0.40(7.00)))=1912.36
Para C12 = $ 5.90 tenemos:
Q2=sqrt(2*2000*64/(0.40*5.90))=2083.02
Para C13 = $ 4..00 tenemos:
Q3=sqrt((2*20000*64)/(0.40*4))=2529.82
= 1264.91
Con los datos obtenidos anteriormente terminaremos que las cantidades óptimas que se encuentran dentro del intervalo correcto.
Cantidad
Consideración
0 < Q1 = 1912.36 < 2, 000
Ö
2, 000 < Q2 = 2083.02 < 4, 000
Ö
4, 000 < Q3 = 2529.82
X
Debido a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo su valor quedará definido por su intervalo inferior, o sea, Q3 = 4, 000.

Paso 2.
Ahora procederemos a determinar el costo total de los valores óptimos obtenidos anteriormente.
El costo total para el primer valor óptimo obtenido es (Q1 = 1912.36):
Costo Total= (7.00)*(20,000)+(64)*(20000/2083.02)+(1912.36/2)*(0.40*7.00)=71,338.64
El costo total para el segundo valor óptimo obtenido es (Q2 = 2083.02):
Costo Total=(5.9*20000)+32*(20000/2083.02)+(2083.02/2)*(0.40*5.9)=60228.76
= $ 30, 114.48
El costo total para el segundo valor óptimo obtenido es (Q3 = 4000):
Costo total=(4.00*20000)+(32*(20000/4000))+(4000/2)*(0.40*4.00)=41120

Paso 3.
Podemos concluir que la cantidad optima a pedir para este problema es de 4, 000 unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 41120.00.

Sistemas de Inventarios
INTRODUCCIÓN
Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de producción y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los clientes. .Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversión, las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes. Los modelos de inventario y la descripción matemática de los sistemas de inventario constituyen una base para estas decisiones.
  1. Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de inventarios.
  2. Derivan una política óptima de inventarios con respecto a este modelo.
  3. Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de inventario y señalar cuándo conviene reabastecer.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE INVENTARIO
Un problema de inventario existe cuando es necesario guardar bienes físicos o mercancías con el propósito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de tiempo especificado (finito o infinito). Casi cada empresa debe almacenar bienes para asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus operaciones. Las decisiones considerando cuándo hacer pedidos y en qué cantidad, son típicas de cada problema de inventario. La demanda requerida puede satisfacerse almacenando una vez según todo el horizonte de tiempo o almacenando separadamente cada unidad de tiempo durante el horizonte. Los dos casos que pueden considerarse son sobre-almacenamiento (con respecto a una unidad de tiempo) o sub-almacenamiento (con respecto al horizonte completo).
Un sobre-almacenamiento requeriría un capital invertido superior por unidad de tiempo pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocación de pedidos. Un sub-almacenamiento por otra parte disminuiría el capital invertido por unidad de tiempo pero aumentaría la frecuencia de los pedidos así como el tiempo de estar sin mercancía.
Antes de comentar acerca de los sistemas de inventarios se presentan primero características básicas de un sistema de inventarios:
  • Parámetros económicos. Estos parámetros incluyen los tipos siguientes:
  1. Costo fijo. Esto implica el costo fijo asociado a la colocación de un pedido o con la preparación inicial de una instalación de producción. El costo fijo usualmente se supone independiente de la cantidad ordenada o producida.
  2. Precios de compra o costo de producción. Este parámetro de especial interés cuando pueden obtenerse descuentos por mayoreo o rebajas en precio o cuando grandes corridas de producción pueden dar como resultado una disminución en el costo de la misma. En estas condiciones la cantidad ordenada debe ajustarse para aprovechar de estos cambios en el precio.
  3. Precio de venta. En algunas situaciones de inventarío la demanda puede ser afectada por la cantidad almacenada. En tales casos el modelo de decisión está basado en un criterio de maximización de beneficios el cual comprende el ingreso de venta de la mercancía. El precio de venta unitario puede ser constante o variable dependiendo, por ejemplo, de si se permite un descuento o no en la cantidad.
  4. Costo de mantenimiento del inventario. Esto representa el costo de tener el inventario en el almacén. Incluye el interés sobre capital invertido, costos de almacenamiento, costos de manejo, costos de depreciación, etc. Los costos de llevar el inventario usualmente se supone que varían directamente con el nivel de inventario, así como con el tiempo que el articulo se tiene en almacén.
  • Demanda. El modelo de demanda de una mercancía puede ser determinista o probabilista. En el caso del determinista se supone que se conocen con certeza las cantidades necesarias sobre períodos subsecuentes. Esto puede expresarse según períodos iguales en términos de demandas constantes conocidas, o en función de demandas variables conocidas. Los dos casos se denominan demandas estática y dinámica, respectivamente:
  1. La demanda probabilísticas ocurre cuando los requisitos durante un cierto período no se conocen con certeza si no que su modelo puede describirse por una distribución conocida de probabilidad. En este caso, se dice que la distribución de probabilidad es estacionaria o no estacionaria en el tiempo. (Estos términos son equivalentes a demandas estática y dinámica en el caso determinista).
  2. La demanda para un período dado puede satisfacerse instantáneamente al inicio del período o uniformemente durante dicho lapso. El efecto de demandas instantáneas y uniformes deberá reflejarse directamente en el costo total de llevar el inventario.
  • Ciclo para ordenar. Consiste en la medida de tiempo de la situación de inventario. Un ciclo de órdenes o pedidos puede identificarse por el período entre dos órdenes sucesivas. Lo último puede iniciarse en una de dos formas:
  1. Revisión continua donde un registro del nivel de inventario se actual9iza continuamente hasta que se alcanza un cierto límite inferior, en cuyo punto se coloca un nuevo pedido. Esto se conoce algunas veces como el sistema de "dos depósitos".
  2. Revisión periódica donde los pedidos se hacen usualmente a intervalos igualmente espaciados.
  • Demoras en la entrega. Cuando se coloca un pedido, puede entregarse inmediatamente o puede requerir algún tiempo antes de que la entrega se efectúe. El tiempo entre la colocación de un pedido y su surtido se conoce como demora en la entrega. En general, las holguras de entrega pueden ser deterministas o probabilista.
  • Reabasto del almacén. Aunque un sistema de inventario puede operar con demora en las entregas, el abastecimiento real del almacén puede ser instantáneo o uniforme. El instantáneo ocurre cuando el almacén compra de fuentes externas. El uniforme puede ocurrir cuando el producto se fabrica localmente dentro de la organización. En general, un sistema puede operar con demora positiva en la entrega y también con reaprovisionamiento de almacén.
  • Horizonte de Tiempo. El horizonte define el período sobre el cual el nivel de inventarios estará controlado. Este horizonte puede ser finito o infinito, dependiendo de la naturaleza o la demanda.
  • Abastecimiento múltiple. Un sistema de inventario puede tener puede tener varios puntos de almacenamiento (en lugar de uno). En algunos casos estos puntos de almacenamiento están organizados de tal manera que un punto actúa como una fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de operación puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de demanda pueda llegar a ser un nuevo punto de abastecimiento. La situación usualmente se denomina sistema de abastecimiento múltiple.
  • Número de artículos. Un sistema de inventarios puede comprender más de un articulo (mercancías). Este caso es de interés, principalmente si existe una clase de interacción entre los diferentes artículos. Por ejemplo, estos pueden competir en espacio o capital total limitados.

SISTEMAS DE INVENTARIO

Dos sistemas de inventario muy utilizados son el sistema de pedido de tamaño fijo y el sistema de pedido de intervalo fijo. Se designa como sistema Q al sistema de pedido de tamaño fijo, mientras que el sistema de pedido de intervalo fijo se designa como sistema P. La diferencia básica entre los dos consiste en que en el sistema Q se pide una cantidad fija a intervalos variables de tiempo y en el sistema P se ordena cantidad variable a intervalos fijos de tiempo.
Cuando el sistema de inventario es determinístico y la tasa de demanda es constante, realmente hay poca diferencia entre los sistemas Q y P.

Se presentan diferencias entre los dos sistemas cuando la demanda, el tiempo de anticipación, o ambos se vuelven probabilísticos.
Un enfoque para manejar sistemas probabilísticos de inventario es suponer un modelo de inventario basado en existencias de seguridad (existencias amortiguadoras). Las existencias de seguridad sirven de amortiguador para absorber las variaciones de la demanda y del tiempo de anticipación. También sirven como medio de regulación de las unidades agotadas. Este enfoque permite una aproximación razonable hacia una solución óptima. Es una aproximación ya que supone que las existencias de seguridad para el tiempo de anticipación y el intervalo entre pedidos son independientes.

MODELO DE INVENTARIO SIN DÉFICIT

FUNDAMENTOS

Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para desarrollar las actividades de cualquier empresa.
Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes suposiciones:

  • La demanda se efectúa a tasa constante.
  • El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).
  • Todos los coeficientes de costos son constantes.

En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías para la venta.

El costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes de costo:

  • Costo unitario del producto (C1)
  • Costo de ordenar una compra (C2)
  • Costo de mantener un producto en almacén (C3)

El costo para un periodo estará conformado de la siguiente manera: Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo]

El costo total para el periodo de planeación estará conformado de la manera siguiente:
Costo total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar.

MODELO DE INVENTARIO CON DÉFICIT

FUNDAMENTOS

El modelo de compra que permite déficit tiene como base las siguientes suposiciones:

  • La demanda se efectúa a tasa constante.
  • El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).
  • Todos los coeficientes de costos son constantes.


Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una compra, costo de mantener en inventario) pero además tiene un costo adicional, el costo por unidad de faltante.Por consiguiente, en este modelo, los costos de déficit son ocasionados por agotamiento de existencias durante el periodo de tiempo y no por la perdida de ventas.

En este modelo se incluyen los costos de déficit para determinar el costo para un periodo.
Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] + [costo de déficit por periodo]

MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT

FUNDAMENTOS

Las suposiciones de este modelo son las siguientes:

  • La demanda se efectúa a tasa constante.
  • El reemplazo es instantáneo(la tasa se reemplazo es finita).
  • Todos los coeficientes de costos son constantes.
  • La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.

Este modelo es muy similar al modelo de compra sin déficit. En este modelo cambia el costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una tanda de producción (C2).

MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT

FUNDAMENTOS

Las suposiciones para este modelo son las siguientes:

  • La demanda se efectúa a tasa constante.
  • El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita).
  • Todos los coeficientes de costos son constantes.
  • La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.

MODELO DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES

FUNDAMENTOS

Este modelo se basa manejar diferentes costos según las unidades pedidas, es decir, la cantidad de productos a comprar definirá el precio de los mismos.
Algunas empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le permiten realizar este tipo de compras. Este modelo les proporciona sus costos totales mas bajos según sus necesidades y los recursos con los que cuenten.

Esto resulta bueno para algunas empresas que cuenten con costos de mantener inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios bajos.
Con este tipo de modelo los costos unitarios de los productos se ven mermados pero los costos de mantener un almacén se pueden ver incrementados sustancialmente.
Cabe mencionar que se debe de tomar en cuenta que la mercancía en ocasiones mantenerla en un almacén le ocasiona deterioro.
Para realizar el desarrollo de este modelo estructuraremos un algoritmo que consta de cuatro pasos, en los cuales se tomarán aspectos importantes de este modelo.

Pasos para la aplicación de este modelo.

PASO 1.
El primer paso es determinar la cantidad optima a pedir según los costos (Costo de pedir, Costo de mantener) que maneje la empresa, para cada uno de los descuentos con que se cuentan.
Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos (C1, C2, C3, C4) de los descuentos.

PASO 2.
El segundo paso es realizar una comparación de los valores de Qj con sus respectivos niveles de precio(Ci), por ejemplo, se compara el valor obtenido de Q1 con respecto al intervalo que corresponde el valor del costo de C1, si este se encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1 entonces este valor de Q se tomará como un valor optimo. De igual manera se realizará un a comparación entre Q2 y el intervalo de N1 y N2. Esto operación se realiza con todos los valores de Q obtenidos.
En caso de que el valor obtenido no se encontrara dentro de este intervalo, la cantidad optima estará definida por el limite inferior del intervalo.

PASO 3.
El tercer paso es determinar los costos totales para cada uno de los valores óptimos obtenidos anteriormente.

PASO 4.
El cuarto paso es determinar el menor costo total obtenido en el paso anterior. El valor de Q utilizado para determinar este costo será la cantidad optima a pedir según los costos estimados en el planteamiento del problema.

MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES

FUNDAMENTOS

Este modelo se basa en manejar un precio unitario de un producto en referencia a la cantidad necesitada, a diferencia del modelo de descuentos en todas las unidades este realiza descuentos sobre una cierta cantidad de artículos que se encuentran dentro de un intervalo.

RESTRICCIONES DE ÁREA DE ALMACENAJE E INVERSIÓN

FUNDAMENTOS

Existen ocasiones en donde se involucran otro tipo de variables con referencia a la cantidad optima a pedir, como por ejemplo el capital con que se cuente y el espacio para almacenar las unidades adquiridas. Cuando una empresa maneja varios tipos de productos vuelve complicado. La empresa debe de ajustar la cantidad optima a pedir para todos sus productos a las restricciones de capital y área de almacenaje.

PASO 1.
Calcular la cantidad optima para cada uno de los productos que maneje la empresa. (Qn)

PASO 2.
Evaluar si las cantidades optimas estimadas se encuentran dentro de las restricciones, es decir, determinar si la restricción es activa.

SISTEMA DE INVENTARIO Q Y SISTEMA DE INVENTARIO P

INTRODUCCIÓN

Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una práctica común en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los mayoristas, los fabricantes y aún los bancos de sangre por lo general almacenan bienes o artículos. ¿Cómo decide una instalación de este tipo sobre su "política de inventarios", es decir, cuándo y cómo se reabastece?. En una empresa pequeña, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en empresas chicas, muchas compañías han ahorrado grandes sumas de dinero al aplicar la "administración científica del inventario". En particular, ellos:

  1. Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de inventarios.
  2. Derivan una política óptima de inventarios con respecto a este modelo.
  3. Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de inventario y señalar cuándo conviene reabastecer.

TEORIA DE LÍNEAS DE ESPERA

Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes:

  1. ¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos de servicio en secuencia?
  2. ¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad?
  3. ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria?
  4. ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones aleatorias de tiempo?

NOTACIÓN KENDALL

Por lo general, las tasas de llegada y de servicio no se conocen con certidumbre sino que son de naturaleza estocástica o probabilística. Es decir los tiempos de llegada y de servicio deben describirse a través de distribuciones de probabilidad y las distribuciones de probabilidad que se elijan deben describir la forma en que e comportan los tiempos de llegada o de servicio.
En teoría de líneas de espera o de colas se utilizan tres distribuciones de probabilidad bastante comunes, estan se mencionan a continuación:

  • Markov
  • Determinística
  • General

La distribución de Markov, en honor al matemático A.A. Markov quien identifico los eventos "sin memoria", se utiliza para describir ocurrencias aleatorias, es decir, aquellas de las que puede decirse que carecen de memoria acerca de los eventos pasados.
Una distribución determinística es aquella en que los sucesos ocurren en forma constante y sin cambio.
La distribución general sería cualquier otra distribución de probabilidad. Es posible describir el patrón de llegadas por medio de una distribución de probabilidad y el patrón de servicio a través de otra.
Para permitir un adecuado uso de los diversos sistemas de líneas de espera, kendall, matemático británico elaboro una notación abreviada para describir en forma sucinta los parámetros de un sistema de este tipo. En la notación Kendall un sistema de líneas de espera se designa como:

A / B / C

En donde:
A = se sustituye por la letra que denote la distribución de llegada.
B = se sustituye por la letra que denote la distribución de servicio.
C = se sustituye por el entero positivo que denote el numero de canales de servicio.

La notación kendall también utiliza M = Markoviano, D = determinística, G = General, por ejemplo un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, servicio determinístico y tres canales de servicio se identificará en notación Kendall como:

M / D / 3


En todos los casos se supone que solo existe una sola línea de entrada.
Es evidente que existen otros atributos aparte de los que se analizaron antes y que deben de tomarse en consideración como por ejemplo:

  • El tamaño de la población de los que provienen los elementos que ingresan al sistema de líneas de espera.
  • La forma en que las unidades llegan para ingresar al sistema de líneas de espera; por ejemplo, una por una o en forma de grupos.
  • Si las unidades rechazan o no debido a la longitud de la línea de espera y no ingresan al sistema.
  • Si las unidades se arrepienten y abandonan el sistema después de haber aguardado un tiempo en la fila.
  • Si existe o no espacio suficiente para que todas las unidades que llegan aguarden en la fila.

Los modelos de Líneas de espera que se analizarán son los siguientes:
Modelo M / M / 1
Modelo M / M / S
Modelo M / G / 1
Modelo M / D / 1


MODELO M / M / 1

Este sistema trata de una distribución de llegada Markoviano, tiempo de servicio Markoviano, y un servidor.
Llegadas aleatorias (M / M / 1)
En las situaciones cotidianas es fácil encontrar ejemplos de llegadas aleatorias, puesto que las llegadas serán aleatorias en cualquier caso en la que una de ellas no afecte a las otras. Un ejemplo clásico de llegadas aleatorias son las llamadas que arriban a un conmutador telefónico o un servicio de emergencia.
Se ha determinada que las ocurrencias aleatorias de un tipo especial pueden describirse a través de una distribución discreta de probabilidad bien conocida, la distribución de Poisson. Este tipo especial de llegadas aleatorias supone características acerca de la corriente de entrada. En primer lugar, se supone que las llegadas son por completo independientes entre sí y con respecto al estado del sistema.
En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo especifico no depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria".
Si conocemos el numero promedio de ocurrencias por periodo, podemos calcular las probabilidades acerca del numero de eventos que ocurrirán en un periodo determinado, utilizando las probabilidades conocidas de la distribución de Poisson.

Tiempo de servicio aleatorio (M / M / 1)

Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos de servicios aleatorios, carentes de memoria, es suceso bastante común en las situaciones cotidianas de líneas de espera. Y al igual que las llegadas aleatorias los tiempos de servicio carentes de memoria se describen a través de una distribución de probabilidad.
La diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicio aleatorios es que estos se describen a través de una distribución continua en tanto que las llegadas se describen a través de una distribución de Poisson, que es discreta. Si la duración de los tiempos de servicio es aleatoria, la distribución exponencial negativa describe ese tipo de servicio.

MODELO M / M / S

Este modelo supone llegadas y tiempos de servicio aleatorios para canales de servicio múltiples, teniendo las mismas consideraciones que le modelo de canal único de servicio (M / M / 1), excepto que ahora existe una sola fila de entrada que alimenta los canales múltiples de servicio con iguales tasas de servicio.

MODELO M / G / 1

Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera.
En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio.
La razón por la que podemos considerar el caso M / G / 1 es que las formulas que se utilizan para calcular sus características de operación son bastantes simples. Al igual que en el caso M / M / S, no es posible calcular en forma directa el numero esperado de unidades en el sistema (L). Para esto primero debe de calcularse el numero de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), y utilizar este resultado para calcular el valor de L. Para calcular el valor de Lq debemos de conocer le valor de la desviación (s ) estándar de la distribución que distingue los tiempos de servicio. Si no se conoce la distribución de los tiempos de servicio no es posible determinar las características de operación.

MODELO M / D / 1

Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, tiempo de servicio constante, una línea de servicio y una línea de espera.
En este modelo los tiempos de servicio son determinísticos, este es un caso especial de la situación M / G / 1 que se analizó con anterioridad, en donde la desviación estándar es igual a cero.

lunes, 26 de febrero de 2007

Programación no lineal o lineal


PROGRAMACIÓN NO LINEAL O LINEAL (CON SOLVER DE EXCEL)

Solver de Excel en una práctica y potente herramienta de programación, tanto lineal como no lineal.
Además nos brinda en la pantalla, "Informes", la posibilidad de un análisis adicional de sensibilidad, que permite observar si quedan recursos ociosos, precios sombra, costos de
oportunidad y otros.

PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX

Por ejemplo para maximizar los beneficios o la producción de una empresa x realizamos, los siguientes pasos:

1) Transformar a ecuaciones, agregando las variables de holgura.
2) Tabla 0: La primer línea de títulos es común para todas las tablas, con las siguientes 9 columnas (Funcional (F); Variable (X); Recursos (R); X1...5 ;Variable Saliente (VS)).
3) Conviene anotar los coeficientes de la función objetivo o funcional, arriba de cada Xj de la primera línea de encabezado, como una ayuda para calcular el punto 9.
4) En la columna X anotar las variables básicas que intervienen en cada cálculo o tabla. La primera solución (en el origen) solo incluye las variables de holgura (con nada producido todo son excedentes).
5) En la columna Funcional van los coeficientes de las variables básicas en la función objetivo.
6) En la columna Recursos se anotan los recursos iniciales. Es el valor de cada variable X en este paso (tabla) del cálculo Simplex. En las próximas tablas irán los recursos utilizados para esa etapa.
7) En X1 ... 5 se anotan inicialmente los coeficientes del sistema de ecuaciones; i
filas, j columnas.
8) Conviene trazar rayas tras la columna Recursos; tras la columna X5; y otra inferior.
9) Agregar una última fila, calculando cada X.
10) Variable que entra: el mayor negativo en la fila inferior. Se toma el mayor negativo por que mejora la funcionalidad.
11) Calcular la última columna VS como R cada coeficiente en la columna de la variable que entra.
12) Variable que sale: el menor positivo en VS, ya que indica el valor con que la variable entra a la base y sale el menor.
13) Pivote: Intersección entre ambas señales. Remarcar el pivote:
14) En la columna X cambiar la variable que sale por la variable que entra.
15) Anotar en la columna F el valor que tiene cada variable en el funcional.
16) Calcular la nueva línea del pivote como = línea pivote anterior/pivote.
17) En la columna del pivote completar con ceros (salvo el 1 del pivote).
18) Para calcular cada elemento restante observar los extremos del cuadrado con diagonal en el pivote: al número en la tabla anterior restarle la otra diagonal dividida por el pivote.
19) Calcula la última fila según (9).
20) Calcular la columna VS según (11).
21) Marcar la variable que entra (según 10) y la variable que sale (según 12); circular su intersección como nuevo pivote:
22) Repetir el calculo para la Tabla 1. Se llega al óptimo cuando una tabla tiene todo positivo en la última fila.
23) Los coeficientes R indicarán ahí las producciones; puede quedar algún recurso ocioso. El valor máximo B se puede anotar al final.
MINIMIZAR EL COSTO DE PRODUCCIÓN

En los casos de minimización, el origen de coordenadas no puede ser el paso inicial y se suponen costos muy altos para los insumos al solo efecto del paso / tabla inicial.
Además de las variables reales y las slag (aquí con signo -) se agregarán las nuevas variables, artificiales (+) en el funcional y como columnas en las tablas para considerar esos altos costos.

DUALIDAD

Todo caso normal de maximización implica uno de minimización y viceversa.
Como los cálculos para minimizar son mayores que para maximizar, debido a esos agregados comentados, es posible calcular el dual de un mínimo convirtiéndolo en un caso de máximo, al considerar los recursos disponibles como los coeficientes de las variables de un nuevo funcional y tomando los coeficientes de las filas del sistema de restricciones del mínimo como columnas para el sistema del máximo.
Es decir, el dual tiene una variable por cada restricción del primal (y tiene tantas restricciones como variables hay en el primal). Solo se trata de que el funcional pasen a ser términos independientes y poner las filas como columnas (las desigualdades tendrán sentido
inverso). Esto vale igualmente cuando en el primal hay mezcladas desigualdades contrarias: si alguna es negativa se le agregara una variable artificial tal como se dijo anteriormente)